Question

已知圆C：x²+y²+2x-4y+3=0
（1）若圆的切线在x，y轴上的截距的绝对值相等，求此切线方程；
（2）从圆外一点P（x₁，y₁）向圆引一条切线，切点M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使|PM|最小值．

Answer 1

分析：（1）分类讨论：切线的斜率存在．当切线经过原点时，当切线不经过原点时，设出截距式，利用切线的性质和点到直线的距离公式即可得出．
（2）利用两点间的距离公式和点到直线的距离公式即可得出．

解答：解：（1）圆C：x²+y²+2x-4y+3=0化为（x+1）²+（y-2）²=2，圆心为C（-1，2），半径r=

2

．
由题意可知：切线的斜率存在．
①当切线经过原点时，设切线方程为y=kx，则

|-k-2|

1+k2

=

2

，解得k=2±

6

．此时切线方程为y=(2±

6

)x．
②当切线不经过原点时，设切线方程为

x

a

±

y

a

=1，即x±y=a，
则

|-1±2-a|

2

=

2

，解得a=-1或3或-5，
此时切线方程为．x±y+1=0，x-y+5=0，x+y-3=0．
（2）∵|PM|=|PO|，∴

x 2 1 + y 2 1

=

(x1+1)2+(y1-2)2-2

，化为2x₁-4y₁+3=0，即为点P的轨迹方程，
∵|PM|=|PO|，∴|PO|的最小值为原点O到此直线的距离d=

3

22+42

=

3 5

10

．

点评：本题考查了圆的切线的性质、直线的截距式、点到直线的距离公式、分类讨论、两点间的距离公式、转化思想等基础知识与基本技能方法，属于难题．