Question

【题目】已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若，求证：..

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析．

【解析】

（1）由题意的定义域为，求导得，由题意比较与的大小，分类讨论即可求出函数的单调性；

（2）由题意，，令，则，令，则，再结合导数依次求得函数的单调性与最值，由此可证．

解：（1）由题意的定义域为，

，

①若，由得，，解得，由，得，则在上单调递减，在上单调递增；

②若，由，得，或，

当时，，则在上单调递增；

当时，由得，，解得，由，得，或，则在上单调递减，在，上单调递增；

当时，由得，，解得，由，得，或，则在上单调递减，在，上单调递增；

综上：当时，在上单调递减，在上单调递增；

当时，在上单调递增；

当时，在上单调递减，在，上单调递增；

当时，在上单调递减，在，上单调递增；

（2）由题意，，

令，则，

令，则，

，

，则在上单调递增，，

∴，在上单调递增，，

，而，

，

．