Question

设F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点．
（1）求椭圆的焦点坐标、离心率及准线方程；
（2）若P是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；
（3）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由e=可知，要求离心率，只要根据方程求出a，b，结合c²=a²-b²可求c，从而可求e，进而可求椭圆的准线方程x=
（2）解法一：设P（x，y），则==x²+y²-3=，由x∈[-2，2]，结合二次函数的性质可求最值
解法二：（2）设P（x，y），则，===x²+y²-3（以下同解法一）．
（3）显然直线x=0不满足题设条件，可设直l：y=kx-2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4，联立直线与椭圆方程，根据方程的根与系数关系可求x₁+x₂，x₁x₂，由△＞0可求k的范围，由0°＜∠AOB＜90°可得=x₁x₂+y₁y₂＞0，代入可求k的范围
解答：解：（1）易知a=2，b=1，c=
∴
∴离心率，椭圆的准线方程为
（2）解法一：设P（x，y），则
==x²+y²-3
=
=
因为x∈[-2，2]
故当x=0，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值-2；
当x=±2，即点P为椭圆长轴端点时，，有最大值1．
解法二：
（2）易知a=2，b=1，c=
∴
设P（x，y），则，=
=
=
=x²+y²-3
（以下同解法一）．
（3）显然直线x=0不满足题设条件．
可设直l：y=kx-2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
联立，消去y，整理得：
∴，
由=4k²-3＞0得：或①
又∵0°＜∠AOB＜90°
∴cos∠AOB＞0
∴=x₁x₂+y₁y₂＞0
又∵y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4
==
∵，即k²＜4，
∴-2＜k＜2②
故由①②得，或．
点评：本题主要考查了椭圆的性质的应用，直线与椭圆相交关系的应用，方程的根与系数关系及向量的夹角与数量积的关系的相互转化，属于综合性试题