Question

已知函数f（x）=cos²x-sinxcosx．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用二倍角公式与辅助角公式可求得f（x）=

2

2

cos（2x+

π

4

）+

1

2

，从而可求得f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）x∈[0，

π

2

]⇒2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]⇒-1≤cos（2x+

π

4

）≤

2

2

，从而可求得f（x）=

2

2

cos（2x+

π

4

）+

1

2

的最大值和最小值．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=cos²x-sinxcosx
=

1

2

（1+cos2x）-

1

2

sin2x
=

1

2

（cos2x-sin2x）+

1

2

=

2

2

cos（2x+

π

4

）+

1

2

，
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（Ⅱ）∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，
∴-1≤cos（2x+

π

4

）≤

2

2

，
∴-

1

2

≤f（x）≤1，
∴f（x）_max=1，f（x）_min=-

1

2

．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查余弦函数的单调性与最值，属于中档题．