Question

已知函数f（x）=

1

2

x²-（a-1）x-a1nx，
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[1.4]内的最小值为-21n2，求a的值．（参考数据1n2≈0.7）

Answer 1

分析：（Ⅰ）求f（x）的导函数f′（x），讨论a的值使f′（x）＞0时对应f（x）单调增，f′（x）＜0时对应f（x）单调减；
（Ⅱ）结合（Ⅰ），讨论a的取值对应f（x）在区间[1，4]内的单调性，从而求得f（x）在区间[1，4]内的最小值为-21n2时a的值．

解答：解：（Ⅰ）由f（x）=

1

2

x²-（a-1）x-alnx得，
f′（x）=x-（a-1）-

a

x

=

x2-(a-1)x-a

x

=

(x-a)(x+1)

x

（其中x＞0）；
①当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，f（x）的单调递增区间是（0，+∞）；
②当a＞0时，若f′（x）＞0，则x＞a，若f′（x）＜0，则0＜x＜a，
可得f（x）在（0，a）上单调递减，（a，+∞）上单调递增．
（Ⅱ）结合（Ⅰ）可知：
①当a≤0时，f（x）在区间[1，4]内单调递增，
f（x）_min=f（1）=

3

2

-a=-2ln2，
∴a=

3

2

+2ln2＞0，与a≤0矛盾，舍去；
②当0＜a≤1时，f（x）在区间[1，4]内单调递增，
f（x）_min=f（1）=

3

2

-a=-2ln2，
∴a=

3

2

+2ln2＞1，与0＜a≤1矛盾，舍去；
③当a≥4时，f（x）在区间[1，4]内单调递减，
f（x）_min=f（4）=8-4a+4-aln4=-2ln2，
得到a=

6+ln2

2+ln2

＜4，舍去；
④当1＜a＜4时，f（x）在[1，a]单调递减，[a，4]单调递增，
f（x）_min=f（a）=-

1

2

a²+a-alna=-2ln2，
令h（a）=-

1

2

a²+a-alna，则h′（a）=-a+1-（1+lna）=-a-lna＜0，故h（a）在（1，4）内为减函数，
又h（a）=-2ln2，∴a=2；
综上，得a=2．

点评：本题考查了利用导数判定函数的单调区间以及根据函数的增减性求最值问题，是易错题．