Question

如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是矩形.已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2,∠PAB=60°.

(1)证明AD⊥平面PAB;

(2)求异面直线PC与AD所成的角的大小;

(3)求二面角P-BD-A的大小.

Answer 1

本小题主要考查直线和平面垂直、异面直线所成的角、二面角等基础知识,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.

(1)证明:在△PAD中,由题设PA=2,AD=2,PD=2,可得PA²+AD²=PD²,于是AD⊥PA.

在矩形ABCD中,AD⊥AB.

又PA∩AB=A,所以AD⊥平面PAB.

(2)解:由题设,BC∥AD,所以∠PCB(或其补角)是异面直线PC与AD所成的角.

在△PAB中,由余弦定理得

PB=.

由(1)知AD⊥平面PAB,PB平面PAB,

所以AD⊥PB,因而BC⊥PB,于是△PBC是直角三角形,

故tan∠PCB=.

所以异面直线PC与AD所成的角的大小为arctan.

(3)解:过点P作PH⊥AB于H,过点H作HE⊥BD于E,连结PE.

因为AD⊥平面PAB,PH平面PAB,

所以AD⊥PH.又AD∩AB=A,因而PH⊥平面ABCD.

故HE为PE在平面ABCD内的射影.

由三垂线定理可知,BD⊥PE.

从而∠PEH是二面角P-BD-A的平面角.

由题设可得,

PH=PA·sin60°=3,AH=PA·cos60°=1,

BH=AB-AH=2,BD=,

HE=·BH=.

于是在Rt△PHE中,tan∠PEH=.

所以二面角P-BD-A的大小为arctan.