Question

已知函数，a∈R且a≠0．
（1）若对?x∈R，都有f（x）≤0，求a的取值范围；
（2）若a≥2，且?x∈R，使得f（x）≤0，求a的取值范围．

Answer 1

解：（1）．
令t=sinx（-1≤t≤1），则，
对任意x∈R，f（x）≤0恒成立的充要条件是
解得a的取值范围为（0，1]；
（2）因为a≥2，所以，g（t）在[-1，1]上递增，
所以，
因此．
于是，存在x∈R，使得f（x）≤0的充要条件是，解得0＜a≤3，
故a的取值范围是[2，3]．
分析：（1）f（x）可变为：．令t=sinx（-1≤t≤1），则，则任意x∈R，f（x）≤0恒成立?g（-1）≤0，g（1）≤0，解出即可；
（2）x∈R，使得f（x）≤0，等价于f（x）_min=g（t）_min≤0，当a≥2时，由g（t）在[-1，1]上的单调性易求其最小值；
点评：本题考查函数恒成立问题，函数恒成立问题往往转化为函数最值问题解决，体现了转化思想，注意区分“恒成立”与“能成立”的区别．