Question

已知a＞0,0≤x＜2π,函数y=cos²x-asinx+b的最大值为0,最小值为-4,试求a和b的值，并求出使y取得最大值和最小值的x的值.

Answer 1

解析：y=cos²x-asinx+b

=1-sin²x-asinx+b=-sin²x-asinx+1+b.

令sinx=t,由于x∈［0，2π）,

∴t∈［-1，1］，则y=-t²-at+1+b=-(t²+at+)+1+b+=-(t+a2)²+1+b+.

(1)当-a2∈［-1，1］时，即0＜a≤2时，由图1知y_max=1+b+,y_min=-1-a+1+b=b-a.由条件得:

解得a=2或a=-6(舍去),

b=a-4=2-4=-2.

此时y=-t²-2t-1=-(t+1)²,当t=-1时,y取到最大值，且y_max=0.

此时x=,当t=1时.y取到最小值，且y_min=-4,此时x=.

(2)当＜-1即a＞2时，由图2知y=-t²-at+1+b在［-1，1］上单调递减,此时y_max=-1+a+1+b=a+b,y_min=-1-a+1+b=b-a.

由条件得:

解得：b=-2,a=2,由于a＞2,所以该情况舍去.

综述：a=2,b=-2,y取到最大值时x的值为；y取到最小值时x的值为.

              

图1                                          图2