Question

（2009•红桥区一模）如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD=PA=2，CD=2

2

，E、F分别是AB、PD的中点
（I）求证：AF∥平面PCE；
（Ⅱ）求证：平面PCE⊥平面PCD；
（Ⅲ）求二面角P-EC-A的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要证AF∥平面PCE，需要证AF平行于平面PCE，由E、F分别是AB、PD的中点，联想到取PC中点，构造平行四边形证明显现平行，从而得到线面平行；
（Ⅱ）要证平面PCE⊥平面PCD，只要证平面PCE经过平面PCD的一条垂线即可，由题意可证AF⊥平面PCD，结合（Ⅰ）得到GE⊥平面PCD，则问题得到证明；
（Ⅲ）别以AB，AD，AP所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角的平面角的大小．

解答：（I）证明：如图，

设G为PC的中点，连结FG，EG，
∴F为PD的中点，E为AB的中点，∴FG═∥

1

2

CD，AE═∥

1

2

CD，∴FG═∥AE，∴AF∥GE，
∵GE?平面PEC，∴AF∥平面PEC；
（Ⅱ）∵PA=AD=2，∴AF⊥PD，
∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD，∴CD⊥平面PAD，
∴AF⊥CD，∴AF⊥平面PCD，∴GE⊥平面PCD
∴平面PCE⊥平面PCD；
（Ⅲ）分别以AB，AD，AP所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，
则P（0，0，2），E（

2

，0，0），C（2

2

，2，0）．

PE

=(

2

，0，-2)，

PC

=(2

2

，2，-2)
设平面PEC的一个法向量为

n

=(x，y，z)，
则

n • PE =0 n • PC =0

，即

2 x-2z=0 2 2 x+2y-2z=0

，取x=

2

，得y=-1，z=1．
∴

n

=(

2

，-1，1)．平面AEC的一个法向量为

a

=(0，0，1)
∴cos＜

n

，

a

＞=

n • a

| n || a |

=

1

2

．
∴二面角P-EC-A的大小为

π

3

．

点评：本题考查了直线与平面，平面与平面垂直的判定，考查了二面角的求法，综合考查了学生的空间想象能力和思维能力，训练了利用平面法向量求二面角的大小，是中档题．