Question

【题目】已知函数，证明.

（1）存在唯一的极小值点；

（2）的极小值点为则.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

(1)求出函数的导数并二次求导，即设，，结合余弦函数和指数函数的性质可求出当，恒成立，即可判断出在上的单调性，由零点存在定理可求出在区间上存在唯一的零点，进而可证明结论.

(2)由，，由零点存在定理可得极小值点，进而可得，结合三角恒等变换可得，由正弦三角函数可求出.

解：（1），设，则，

当时，，所以.

当时，，

综上所述，当，恒成立，

故在上单调递增.

又，由零点存在定理可知，

函数在区间上存在唯一的零点，，

结合单调性可得在上单调递减，在上单调递增，

所以函数存在唯一极小值点.

（2）由（1）知，，，

，而，所以，

即，，故极小值点，

且，即，由式，得

.由，

得，所以，即.