题目内容

已知数列{a_n}的前n项和Sn= $数学公式$ n²+ $数学公式$ n．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令b_n= $数学公式$ ，求数列{b_n}的前2011项和T₂₀₁₁．

解：（Ⅰ） n=1时，a₁=S₁=1，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1= $\text{[math]}$ =n，
经检验当n=1时a₁=S₁=1也满足上式，
所以数列{a_n}的通项公式为：a_n=n． …（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：b_n= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴T₂₀₁₁=（1- $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ ）+…+（ $\text{[math]}$ ）
=1- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
数列{b_n}的前2011项和T₂₀₁₁= $\text{[math]}$ …（12分）
分析：（Ⅰ）由 $\text{[math]}$ 可求数列的通项，要注意验证是否可合写成一个式子；
（Ⅱ）b_n= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，由裂项相消法可求和．
点评：本题为数列的通项和求和的综合应用，利用式子 $\text{[math]}$ 和裂项相消法是解决问题的关键，属中档题．

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