Question

(21)已知数列{x_n}、{y_n}满足x₁=x₂=1，y₁=y₂=2，并且 (为非零参数，n=2，3，4，…)．

(Ⅰ)若x₁、x₃、x₅成等比数列，求参数的值；

 

(Ⅱ)当＞0时，证明 (n∈N^*)；

 

(Ⅲ)当＞1时，证明＜(n∈N^*).

Answer 1

本小题以数列的递推关系为载体，主要考查等比数列的等比中项及前n项和公式、不等式的性质及证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力.

（Ⅰ）解：由已知x₁=x₂=1,且

         

若x₁、x₃、x₅成等比数列，则 =x₁x₅,即²=⁶.而≠0，解得=±1.

 

(Ⅱ)证明：由已知，＞0，x₁=x₂=1及y₁=y₂=2，可得x_n＞0,y_n＞0.由不等式的性质，有

 

≥≥²≥…≥^n-1=^n-1。

 

另一方面，

 

因此，（n∈N^*）.故

 

（n∈N^*）.

 

（Ⅲ）证明：当＞1时，由（Ⅱ）可知y_n＞x_n≥1（n∈N^*）。

 

又由（Ⅱ）（n∈N^*），则

，

 

从而=^n-1（n∈N^*）.因此

 

 

≤1+＜.