Question

【题目】设函数(a，bR).

（1）当b＝﹣1时，函数有两个极值，求a的取值范围；

（2）当a＋b＝1时，函数的最小值为2，求a的值；

（3）对任意给定的正实数a，b，证明：存在实数，当时，.

Answer 1

【答案】（1）(，0)（2）或（3）证明见解析；

【解析】

（1）当时，，求导，则，解出即可；

（2）当时，，求导后，分类讨论得函数的单调性与最值，由此可求出答案；

（3）对任意给定的正实数a，b，有，设，设，x＞0，求导后易求得，又由，得，由此可得出答案．

解：（1）当时，，

∴，

若函数有两个极值，则，解得，

故a的取值范围是(，0)；

（2）当时，，

∴，

当a≤0时，，∴是(0，)上的减函数，

∴函数无最小值，舍去；

当a＞0时，由得，，

∴在(0，)上单调递减，在(，)上单调递增，

∴函数的最小值为，

由，得，

解得或；

（3）对任意给定的正实数a，b，有，

设，

设，x＞0，则，z

易知当x＝4时，，故，

又由，得，

对于任意给定的正实数a，b，取为与4中的较大者，

则当时，恒有，即当时，．