Question

在△ABC中，sinA=

3

5

，cosB=

12

13

，a=2

2

，则△ABC的面积为（　　）

• A．

  320

  507

• B．

  1120

  507

• C．

  1120

  507

  或

  320

  507

• D．

  15

  7

  或

  15

  14

Answer 1

分析：直接利用正弦定理求出b，将sinC化成sin（A+B），再利用两角和与差的三角函数公式计算求出sinC，然后求解三角形的面积．

解答：解：sinA=

3

5

＜

2

2

，所以A＜

π

4

或A＞

3π

4

；cosB=

12

13

＞

3

2

，所以B＜

π

6

，sinB=

1-( 12 13 )2

=

5

13

，
若A为锐角，则A＜

π

4

，∴cosA=

4

5

，
此时sinC=sin（π-A-B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=

3

5

×

12

13

+

4

5

×

5

13

=

56

65

若A为钝角，则A＞

3π

4

，∴cosA=-

4

5

，
此时sinC=sin（π-A-B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=

3

5

×

12

13

-

4

5

×

5

13

=

16

65

，
在△ABC中，sinA=

3

5

，cosB=

12

13

，a=2

2

，由正弦定理可知b=

asinB

sinA

=

2 2 × 5 13

3 5

=

50 2

39

，
所以三角形的面积为：S=

1

2

absinC=

1

2

×2

2

×

50 2

39

×

56

65

=

1120

507

，
或三角形的面积为：S=

1

2

absinC=

1

2

×2

2

×

50 2

39

×

16

65

=

320

507

，
则△ABC的面积为

1120

507

或

320

507

．
故选C．

点评：本题考查两角和与差的三角函数，同角三角函数基本关系式，角的代换，计算能力．本题的关键是充分讨论A的大小范围，确定解的个数．