Question

已知函数f(x)=(

1

4

)x+

1

2

-(

1

2

)x-2+5．
（Ⅰ）解不等式f（x）＞5；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意，f（x）＞5?(

1

4

)x+

1

2

＞(

1

2

)x-2，利用指数函数的性质解之即可；
（Ⅱ）令t=(

1

2

)x，将f（x）=(

1

2

)2x+1-(

1

2

)x-2+5转化为y=

1

2

t²-4t+5（t＞0），利用复合函数的单调性判断即可．

解答：解：（Ⅰ）∵(

1

4

)x+

1

2

-(

1

2

)x-2+5＞5，
∴(

1

4

)x+

1

2

＞(

1

2

)x-2．…（2分）
所以[(

1

2

)2]x+

1

2

＞(

1

2

)x-2．
即(

1

2

)2x+1＞(

1

2

)x-2．…（4分）
从而2x+1＜x-2，解之得x＜-3．…（7分）
所以不等式f（x）＞5的解集为（-∞，-3）．…（8分）
（Ⅱ）∵(

1

4

)x+

1

2

-(

1

2

)x-2+5
=(

1

2

)2x+1-(

1

2

)x-2+5
=

1

2

•(

1

2

)2x-(

1

2

)-2•(

1

2

)x+5
=

1

2

•[(

1

2

)x]2-4•(

1

2

)x+5…（10分）
设t=(

1

2

)x，则y=

1

2

t²-4t+5（t＞0），…（11分）
即y=

1

2

（t-4）²-3．…（12分）
当t∈（0，4]，即x∈[-2，+∞）时，y是t的减函数，t是x的减函数；…（13分）
当t∈[4，+∞），即x∈（-∞，-2]时，y是t的增函数，t是x的减函数；…（14分）
所以函数的单调递增区间是[-2，+∞），单调递减区间是（-∞，-2]．…（16分）

点评：本题考查指数函数的单调性，考查函数单调性的判断与证明，考查转化思想与分类讨论思想的运用，考查复合函数的单调性，属于难题．