Question

已知点P是抛物线y²=4x上的动点，点P在y轴上射影是M，点A（4，6），则|PA|+|PM|的最小值是

 

．

Answer 1

分析：延长PM交抛物线y²=4x的准线x=-1于P′，设焦点为F，利用抛物线的定义可知，|PP′|=|PF|，从而可知，当A、P、F三点共线时，|PA|+|PF|-|MP′|最小，易求|PA|+|PM|的最小值为3

5

-1．

解答：解：延长PM交抛物线y²=4x的准线x=-1于P′，焦点F（1，0），

则|PP′|=|PF|，
∴要使|PA|+|PM|最小，就是使|PA|+|PP′|-|MP′|最小，也就是使得|PA|+|PF|-|MP′|最小，
显然，当A、P、F三点共线时，|PA|+|PF|-|MP′|最小，
最小值为|AF|-|MP′|=

(4-1)2+(6-0)2

-|MP′|=3

5

-1，
∴|PA|+|PM|的最小值为：3

5

-1．
故答案为：3

5

-1．

点评：本题考查抛物线的简单性质，考查转化思想与运算能力，考查作图、与用图能力，属于中档题．