题目内容
如图，在平面直角坐标系
中，已知
，
，
是椭圆
上不同的三点，
，
，在第三象限，线段
的中点在直线
上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求点C的坐标；
（3）设动点
在椭圆上（异于点，，）且直线PB，PC分别交直线OA于
，
两点，证明
为定值并求出该定值．
（1）求椭圆方程一般用待定系数法.本题已知椭圆过两点，列两个方程
，解出
的值,（2）求点
的坐标，需列出两个方程.一是点C在椭圆上，即
，二是的中点在直线上，即
.注意到在第三象限，舍去正值.（3）题意明确，思路简洁，就是求出点
的坐标，算出
为定值.难点是如何消去参数.因为点在直线： 
上，所以可设
，
．选择
作为参数，即用表示点的坐标.由
三点共线，解得
，同理解得
.从而有
，这里主要用到
代入化简.本题也可利用椭圆参数方程或三角表示揭示
为定值.
解析试题分析：（1）
,（2）
,（3）
.
试题解析：（1）由已知，得 解得
2分
所以椭圆的标准方程为． 3分
（2）设点
，则中点为
．
由已知，求得直线的方程为，从而．①
又∵点在椭圆上，∴．②
由①②，解得
（舍），
，从而
． 5分
所以点的坐标为． 6分
（3）设，，．
∵三点共线，∴
，整理，得． 8分
∵
三点共线，∴
，整理，得． 10分
∵点在椭圆上，∴，
．
从而
． 14分
所以
15分
∴为定值，定值为． 16分
考点：椭圆标准方程，直线与椭圆位置关系
练习册系列答案
相关题目
的左右焦点分别为
、
，短轴两个端点为
、
，且四边形
是边长为2的正方形.
分别是椭圆长轴的左右端点，动点
满足
，连接
，交椭圆于点
，证明：
为定值；
轴上是否存在异于点
的定点
，使得以
为直径的圆恒过直线
的交点？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
：
，命题
：方程
表示焦点在
轴上的双曲线．
的取值范围；
”为真，命题“
”为假，求实数
的焦点在
轴上，离心率为
，对称轴为坐标轴，且经过点
．
的方程；
与椭圆
相交于
、
两点， 
为原点，在
、
点的点
、
，使得
在以
为直径的圆外，求直线斜率
的取值范围．
＝1(a>b>0)的离心率e＝
，一条准线方程为x＝
，其左焦点到点P(2，1)的距离为
.不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．
＋y2＝1(a＞1)的上顶点为M(0，1)，两条过M的动弦MA、MB满足MA⊥MB.
，求a；
＝1(a＞b＞0)的离心率为
，且过点A(0，1)．
.