Question

已知函数f（x）=

1

2

x²-ax+（a-1）lnx，a＞1．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若a＜5，设g（x）=f（x）+x，求证g（x）为单调递增函数．

Answer 1

分析：（1）现根据函数的解析式求得 f（x）的定义域为（0，+∞），再求得 f′（x）=

(x-1)(x+1-a)

x

．再分a-1=1、a-1＜1、a-1＞1三种情况，分别利用导数的符号断函数的单调性．
（2）根据g（x）=f（x）+x的解析式，可得 g′（x）的解析式，根据1＜a＜5时g′（x）＞0，可得g（x）在（0，+∞）单调递增．

解答：解：（1）∵f（x）=

1

2

x²-ax+（a-1）lnx，a＞1，它的定义域为（0，+∞），
∴f′（x）=x-a+

a-1

x

=

(x-1)(x+1-a)

x

．
（i）若a-1=1，即a=2，则f′（x）=

(x-1)2

x

＞0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增．
（ii）若a-1＜1，而a＞1，故1＜a＜2，
则当x∈（a-1，1）时，f′（x）＜0；当x∈（0，a-1）、及x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0．
故f（x）在（a-1，1）上单调递减，在（0，a-1）、（1，+∞）单调递增．
（iii）若a-1＞1，即a＞2，同理可得f（x）在（1，a-1）单调递减，在（0，1）、（a-1，+∞）上单调递增．
（2）g（x）=f（x）+x=

1

2

x²-ax+（a-1）lnx+x，则g′（x）=x-（a-1）+

a-1

x

≥2

a-1

-（a-1）=1-(

a-1

-1)2，
由于1＜a＜5，故g′（x）＞0，即g（x）在（0，+∞）单调增加．

点评：本题主要考查二次函数的性质，利用导数研究函数的单调性，属于基础题．