Question

已知抛物线y=-x²+2引抛物线的切线l，使l与两坐标轴在第一象限围成三角形的面积最小，求l的方程．

Answer 1

分析：设切点P（x₀，-x₀²+2）（x₀＞0），由导数的几何意义l的方程为y-（-x₀²+2）=-2x₀（x-x₀）．利用直线可求三角形的边长，从而可求S，利用求导可求S的极值，进而可求S的最值，从而可求直线的方程

解答：解：设切点P（x₀，-x₀²+2）（x₀＞0），
由y=-x²+2得y′=-2x，
∴k₁=-2x₀．
∴l的方程为y-（-x₀²+2）=-2x₀（x-x₀）．（4分）
令y=0，得x=

x02+2

2x0

令x=0，得y=x₀²+2，
∴三角形的面积为
S=

1

2

x02+2

2x0

•(x02+2)=

x04+4x02+4

4x0

∴S′=

(3x02-2)(x02+2)

4x02

令S′=0，得x₀=

6

3

（∵x₀＞0），
∴当0＜x₀＜

6

3

时，S′＜0；
当x₀＞

6

3

时，S′＞0．
∴x0=

6

3

时，S取极小值．
∵只有一个极值，
∴x=

6

3

时S最小，此时k₁=-

2 6

3

，切点为（

6

3

，

4

3

）．
∴l的方程为y-

4

3

=-

2 6

3

（x-

6

3

），
即2

6

x+3y-8=0

点评：本题主要考查了利用导数的几何意义求解切线的方程，利用函数的导数求解函数的极值与求解函数的最值，属于函数知识的综合应用．