Question

16．已知（a+1）x-1-lnx≤0对于任意$x∈[{\frac{1}{2}，2}]$恒成立，则a的最大值为（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 1-2ln2
• D． $\frac{-1+ln2}{2}$

Answer 1

分析 问题转化为a${（\frac{1+lnx}{x}-1）}_{min}$对于任意$x∈[{\frac{1}{2}，2}]$恒成立，设f（x）=$\frac{1+lnx}{x}$-1，求出函数f（x）的最小值即可求出a的最大值．

解答 解：（a+1）x-1-lnx≤0对于任意$x∈[{\frac{1}{2}，2}]$恒成立
?a≤$\frac{1+lnx}{x}$-1对于任意$x∈[{\frac{1}{2}，2}]$恒成立
?a≤${（\frac{1+lnx}{x}-1）}_{min}$对于任意$x∈[{\frac{1}{2}，2}]$恒成立
设f（x）=$\frac{1+lnx}{x}$-1，$x∈[{\frac{1}{2}，2}]$，则f′（x）=$\frac{-lnx}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：$\frac{1}{2}$≤x＜1，令f′（x）＞0，解得：1＜x≤2，
∴f（x）在[$\frac{1}{2}$，1）递增，在（1，2]递减，
∴f（$\frac{1}{2}$）或f（2）最小，
而f（$\frac{1}{2}$）=1-2ln2，f（2）=$\frac{1}{2}$ln2-$\frac{1}{2}$，
∴f（$\frac{1}{2}$）＜f（2），
∴a的最大值是1-2ln2，
故选：C．

点评 本题考查函数恒成立问题，着重考查构造函数思想、等价转化思想与导数法求极值的综合应用，求得f（x）的最小值是关键，属于中档题