Question

已知函数f（x）=3cos（

x

2

+

π

3

）
（1）求出f（x）的最小正周期、单调增区间、对称轴方程；
（2）说明此函数图象可由y=cosx上的图象经怎样的变换得到．

Answer 1

分析：（1）利用函数y=Acos（ωx+φ）的周期性、单调性、图象的对称性，得出结论．
（2）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象的变换规律，可得结论．

解答：解：（1）∵函数f（x）=3cos（

x

2

+

π

3

），故函数的最小正周期为T=

2π

1 2

=4π．
令 2kπ-π≤

x

2

+

π

3

≤2kπ，k∈z，4kπ-

8π

3

≤x≤4kπ-

2π

3

，故函数的增区间为[4kπ-

8π

3

，4kπ-

2π

3

]，k∈z．
令

x

2

+

π

3

=kπ，求得x=2kπ-

2π

3

，k∈z，故函数的图象的对称轴方程为 x=2kπ-

2π

3

，k∈z．
（2）把y=cosx上的图象上点的横坐标变为原来的2倍，可得y=cos

1

2

x的图象；再把所得图象向左平移

2π

3

个单位，可得f（x）=cos（

x

2

+

π

3

）的图象；
再把所得图象上点的纵坐标变为原来的3倍，即可得到f（x）=3cos（

x

2

+

π

3

）的图象．

点评：本题主要考查函数y=Acos（ωx+φ）的周期性、单调性、图象的对称性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象的变换规律，属于中档题．