Question

双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的两顶点为A₁，A₂，虚轴两端点为B₁，B₂，两焦点为F₁，F₂．若以A₁A₂为直径的圆内切于菱形F₁B₁F₂B₂，切点分别为A，B，C，D，则该双曲线的离心率e=

5 +1

2

．

Answer 1

分析：根据题意，可得直线F₁B₁的方程为bx-cy+bc=0．由以A₁A₂为直径的圆与直线F₁B₁相切，可得点O到直线F₁B₁的距离等于a，利用点到直线的距离公式建立关于a、b、c的等式，化简整理得到关于离心率e的方程，解之即可得到
该双曲线的离心率e的值．

解答：解：∵双曲线的虚轴两端点为B₁、B₂，两焦点为F₁，F₂．
∴F₁（-c，0），B₁（0，b），可得直线F₁B₁的方程为y=

b

c

（x+c），即bx-cy+bc=0．
∵双曲线的两顶点为A₁、A₂，以A₁A₂为直径的圆内切于菱形F₁B₁F₂B₂，
∴点O到直线F₁B₁的距离等于半径，即

|bc|

b2+(-c)2

=a，化简得b²c²=a²（b²+c²），
∵b²=c²-a²，∴上式化简为（c²-a²）c²=a²（2c²-a²），整理得c⁴-3a²c²+a⁴=0．
两边都除以a⁴，得e⁴-3e²+1=0，解之得e²=

3± 5

2

∵双曲线的离心率e＞1，
∴e²=

3+ 5

2

，可得e=

3+ 5 2

=

5 +1

2

故答案为：

5 +1

2

点评：本题给出以双曲线焦距与虚轴为对角线的菱形，在以实轴为直径的圆内切于该菱形的情况下求双曲线的离心率．着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质、点到直线的距离公式和直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中档题．