Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2a-c）cosB=bcosC．
（1）求角B的大小；
（2）设

m

=(cosA，cos2A)，

n

=(-

12

5

 ， 1)，且

m

•

n

取最小值时，求tan(A-

π

4

)值．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理把题设等式中的边换成角的正弦，进而利用两角和公式化简整理求得cosB的值，进而求得B．
（2）根据向量的运算法则，表示出

m

•

n

，进而根据二次函数的性质求得当cosA为

4

5

时，

m

•

n

最小，进而利用同角三角函数的基本关系求得tanA的值．

解答：解：（1）∵（2a-c）cosB=bcosC，由正弦定理得：（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC．．
∴2sinA•cosB-sinC•cosB=sinBcosC
化为：2sinA•cosB=sinC•cosB+sinBcosC
∴2sinA•cosB=sin（B+C）
∵在△ABC中，sin（B+C）=sinA
∴2sinA•cosB=sinA，得：cosB=

1

2

，
∴B=

π

3

（2）∵

m

•

n

=-

12

5

cosA+cos2A，
∴

m

•

n

=-

12

5

cosA+2cos2A-1，
∴

m

•

n

=2(cosA-

3

5

)2-

43

25

，
得到：当cosA=

3

5

时，

m

•

n

取最小值
∴sinA=

4

5

，∴tanA=

4

3

∴tan(A-

π

4

)=

tanA-1

1+tanA

=

4 3 -1

1+ 4 3

=

1

7

点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用，向量的基本运算，正切的两角和公式．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．