Question

定义在R上的函数f（x）=x²（ax-3），其中a为常数．若函数f（x）在区间（-1，0）上是增函数，则 a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：若函数f（x）在区间（-1，0）上是增函数，则要求导函数f'（x）在区间（-1，0）大于零即可，对a的取值进行分灰讨论后，综合讨论结果，即可得到答案．

解答：解：①当a=0时
f（x）=-3x²在区间（-1，0）上是增函数
∴a=0符合题意；
②当a≠0时，f'（x）=3ax (x-

2

a

)，令f'（x）=0得：x₁=0，x₂=

2

a

当a＞0时，对任意x∈（-1，0），f'（x）＞0，
∴a＞0 （符合题意）
当a＜0时，当 x∈(

2

a

，0)时f'（x）＞0，
∴

2

a

≤-1，∴-2≤a＜0（符合题意）
综上所述，a≥-2．
故答案为：[-2，+∞）

点评：本题考查的知识点是函数单调性的性质及证明，其中熟练掌握函数单调性与导函数符号之间的关系是解答本题的关键．