Question

设函数f(x)=

1

2

x2+ax+2lnx，a∈R，已知f（x）在x=1处有极值．
（1）求实数a的值；
（2）当x∈[

1

e

，e]（其中e是自然对数的底数）时，证明：e^{（e-x）（e+x-6）+4}≥x⁴；
（3）证明：对任意的n＞1，n∈N*，不等式ln

2n

n!

＜

1

12

n3-

5

8

n2+

31

24

n恒成立．

Answer 1

（1）由题意函数f(x)=

1

2

x2+ax+2lnx，a∈R，已知f（x）在x=1处有极值，
所以f^′（1）=0∴1+a+2=0解得：a=-3．
（2）∵f(x)=

1

2

x2+ax+2lnx，a∈R，（x＞0）
∴f′(x)=

x2-3x+2

x

=

(x-1)(x-2)

x

(x＞0)，
由f′(x)=

(x-1)(x-2)

x

＞0   解得：x＞2或0＜x＜1，
f′(x)=

(x-1)(x-2)

x

＜0    解得：1＜x＜2，
∵x∈[

1

e

，e]∴函数f（x）的单调递增区间为（

1

e

，1)    (2，e)．（2，e），单调的减区间为（1，2），
∴当x∈[

1

e

，e]时，f(x)的极大值f(1)=-

5

2

，又f（e）=

1

2

e2-3e+2，
f（e）-f（1）=

1

2

e2 -3e+

9

2

=

1

2

(e-3)2 ＞0
∴当x∈[

1

e

，e]时，f(x)max=f(e)= 

1

2

e²-3e+2
∴

1

2

e2-3e+2≥f(x)= 

1

2

x2-3x+2lnx
即：e²-6e+4≥x²-6x+4lnx
即：e²-x²+6x-6e+4≥4lnx?（e-x）（e+x-6）+4≥4lnx
∴e(e-x)(e+x-6)+4≥elnx4
∴e^{（e-x）（e+x-6）+4}≥x⁴；
（3）∵f′(x)=

x2-3x+2

x

(x＞1)，函数f（x）的单调递减区间为（1，2），单调递增区间为（2，e），
∴当x∈（1，+∞）时，函数f（x）在x=2处取得最小值2ln2-4，
∴f(x)=

1

2

x2-3x+2lnx≥2ln2-4 (x＞1)
即：

1

2

x2-3x+4≥ 2lb2-2lnx    (x＞1)
∴ln2-lnx≤

1

4

x2-

3

2

x+2    (x＞1)，
∵ln2-ln2≤

1

4

×22-

3

2

×2+2
    ln2-ln3≤

1

4

×32 -

3

2

×3+2
…
    ln2-lnn≤

1

4

n2-

3

2

n+2
由于以上各式并不都能取等号，所以把以上各式相加，变形得：
    nln2-ln(1×2×…×n)＜

1

4

(12+22+…+n2)-

3

2

(1+2+…+n)+2(n-1)+ln2-

1

4

+

3

2

   即：ln

2n

n!

＜

1

4

•

1

6

n(n+1)(2n+1)-

3

2

•

n(n+1)

2

 +2n+ln2-

3

4

＜

1

4

•

1

6

n(n+1)(2n+1)-

3

2

•

n(n+1)

2

+2n   (∵ln2-

3

4

＜0)=

1

12

n3-

5

8

n2+

31

24

n
∴对于任意n＞1，n∈N+，不等式ln

2n

n!

＜

1

12

n3 -

5

8

n2 +

31

24

n恒成立．