Question

如图，四边形ABCD是直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=

1

2

．
（1）求SC与平面ASD所成的角余弦；
（2）求平面SAB和平面SCD所成角的余弦．

Answer 1

分析：（1）作CE∥AB交AD的延长线于E，由∠ABC=∠BAD=90°，SA⊥平面ABCD，可证得SA⊥面ABCD，进而CE⊥面SAD，则∠CSE是SC与平面ASD所成的角，解Rt△CES即可得到答案．
（2）由SA⊥面ABCD，知面ABCD⊥面SAB，△SCD在面SAB的射影是△SAB，分别求出而△SAB的面积和△SCD的面积，代入cosφ=

S△SAB

S△SCD

，即可得到答案．

解答：解：（1）作CE∥AB交AD的延长线于E，
∵AB⊥AD，
∴CE⊥AD．
又∵SA⊥面ABCD，
∴CE⊥SA，SA∩AD=A，
∴CE⊥面SAD，SE是SC在面SAD内的射影，
∴∠CSE=θ是SC与平面ASD所成的角，
易得SE=

2

，SC=

3

，
∴在Rt△CES中，cosθ=

CE

SC

=

6

3

（2）由SA⊥面ABCD，知面ABCD⊥面SAB，
∴△SCD在面SAB的射影是△SAB，
而△SAB的面积S₁=

1

2

×SA×AB=

1

2

，
设SC的中点是M，∵SD=CD=

5

2

，
∴DM⊥SC，DM=

2

2

∴△SCD的面积S₂=

1

2

×SC×DM

6

4

设平面SAB和平面SCD所成角为φ，
则由面积射影定理得cosφ=

S△SAB

S△SCD

=

6

3

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面所成的角，其中（1）的关键是证得∠CSE是SC与平面ASD所成的角，（2）的关键是证得，△SCD在面SAB的射影是△SAB，进而cosφ=

S△SAB

S△SCD

．