Question

已知函数f(x)=+bx,其中a＞0,b＞0,x∈(0,+∞),确定f(x)的单调区间,并证明在每个单调区间上的增减性.

Answer 1

证明:设0＜x₁＜x₂,则?

f(x₁)-f(x₂)=(+bx₁)-(+bx₂)

=(x₂-x₁)(-b).?

当0＜x₁＜x₂≤时,则x₂-x₁＞0,0＜x₁x₂＜,＞b,?

∴f(x₁)-f(x₂)＞0,即f(x₁)＞f(x₂).?

∴f(x)在(0,］上是减函数.?

当x₂＞x₁≥时,则x₂-x₁＞0,x₁x₂＞,＜b,?

∴f(x₁)-f(x₂)＜0,即f(x₁)＜f(x₂).?

∴f(x)在［,+∞)上是增函数.

点评:这里用了两个三段论的简化形式,都省略了大前提.第一个三段论所依据的大前提是减函数的定义,第二个三段论所依据的大前提是增函数定义.小前提分别是f(x)在(0,］上满足减函数定义和f(x)在［,+∞)上满足增函数定义,这是证明该例题的关键.