题目内容

已知函数 $数学公式$ ，且f（2）=1．
（1）求m的值；
（2）判定f（x）的奇偶性，并说明理由；
（3）判断f（x）在（-∞，0）上的单调性并给予证明．

解：（1）因为f（2）=1，即 $\text{[math]}$ ，解得m=1．
（2）函数f（x）为奇函数．
函数 $\text{[math]}$ 的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称．
又因为 $\text{[math]}$ ，
所以f（x）是奇函数．
（3）设x₁＜x₂＜0，
则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
因为x₁＜x₂＜0，所以x₁-x₂＜0， $\text{[math]}$ ，
所以f（x₁）＜f（x₂），
因此f（x）在（-∞，0）上为单调增函数．
分析：（1）由f（2）=1列方程解出即可；
（2）根据函数奇偶性的定义即可作出判断；
（3）设x₁＜x₂＜0，通过作差可判断f（x₁）与f（x₂）的大小关系，依据单调性的定义即可判断；
点评：本题主要考查函数的表示方法及函数的单调性、奇偶性，属基础题，定义是解决该类问题的基本方法．

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（2）试判断是否存在正数p，使函数g（x）=1-p•f（x）+（2p-1）x在区间[-1，2]上的值域为 $数学公式$ ．若存在，求出这个p的值；若不存在，说明理由．

，且f（2）＜f（3）
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