Question

已知命题p：方程

x2

16-m

+

y2

m-4

=1表示焦点在x轴上的椭圆；命题q：点（m，4）在圆（x-10）²+（y-1）²=13内．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，试求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：先求出命题p，q为真命题的等价条件，然后根据若p∨q为真命题，p∧q为假命题，得到命题p，q为一真一假，然后求出实数m的取值范围．

解答：解：方程

x2

16-m

+

y2

m-4

=1表示焦点在x轴上的椭圆，则

16-m＞0 m-4＞0 16-m＞m-4

，解得

m＜16 m＞4 m＜10

，即4＜m＜10．即p：4＜m＜10．
若（m，4）在圆（x-10）²+（y-1）²=13，则

(m-10)2+(4-1)2

＜

13

，即（m-10）²＜4，即-2＜m-10＜2，所以8＜m＜12．即q：8＜m＜12．
若p∨q为真命题，p∧q为假命题，得到命题p，q为一真一假，
若p真q假，则

4＜m＜10 m≥12或m≤8

，解得4＜m≤8．
若p假q真，则

8＜m＜12 m≥10或m≤4

，解得10≤m＜12．
综上实数m的取值范围是4＜m≤8或10≤m＜12．

点评：本题主要考查复合命题的真假应用，将条件进行等价化简是解决本题的关键．