Question

已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F₁(－3,0)，一条渐近线的方程是 x－2y＝0.

(1)求双曲线C的方程；

(2)若以k(k≠0)为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求k的取值范围．

Answer 1

所以双曲线C的方程为：

(2)设直线l的方程为：

y＝kx＋m(k≠0)，

则点M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)的坐标满足方程组

将①式代入②式

整理得(5－4k²)x²－8kmx－4m²－20＝0.

此方程有两个不等实根，于是5－4k²≠0，

此直线与x轴，y轴的交点坐标分别为

所以k的取值范围是

．