Question

若圆x²+y²=r²（r＞0）上仅有4个点到直线x-y-2=0的距离为1，则实数r的取值范围是（　　）

• A．(0，

  2

  -1)
• B．(

  2

  -1，

  2

  +1)
• C．(

  2

  +1，+∞)
• D．(0，

  2

  +1)

Answer 1

分析：到已知直线的距离为1的点的轨迹，是与已知直线平行且到它的距离等于1的两条直线，根据题意可得这两条平行线与x²+y²=r²有4个公共点，由此利用点到直线的距离公式加以计算，可得r的取值范围．

解答：解：作出到直线x-y-2=0的距离为1的点的轨迹，得到与直线x-y-2=0平行，
且到直线x-y-2=0的距离等于1的两条直线，
∵圆x²+y²=r²的圆心为原点，
原点到直线x-y-2=0的距离为d=

|0-0-2|

2

=

2

，
∴两条平行线中与圆心O距离较远的一条到原点的距离为d'=

2

+1，
又∵圆x²+y²=r²（r＞0）上有4个点到直线x-y-2=0的距离为1，
∴两条平行线与圆x²+y²=r²有4个公共点，即它们都与圆x²+y²=r²相交．
由此可得圆的半径r＞d'，
即r＞

2

+1，实数r的取值范围是(

2

+1，+∞)．
故选：C

点评：本题给出已知圆上有四点到直线的距离等于半径，求参数的取值范围．着重考查了圆的标准方程、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．