Question

已知函数f（x）=sin2x，g（x）=cos(2x+

π

6

)，直线x=t（t∈R）．与函数f（x），g（x）的图象分别交于M、N两点．
（1）当t=

π

4

时，求|MN|的值；
（2）求|MN|在t∈[0，

π

2

]时的最大值．

Answer 1

分析：（1）先根据题意表示出|MN|进而利用诱导公式化简，利用余弦函数的性质求得答案．
（2）表示出|MN|的表达式，利用两角和公式对表达式化简整理，利用正弦函数的性质求得其最大值．

解答：解：（1）将t=

π

4

代入函数f（x）、g（x）中得到
∵|MN|=|f(

π

4

)-g(

π

4

)|=|sin(2×

π

4

)-cos(2×

π

4

+

π

6

)|
=|1-cos

2π

3

|=

3

2

.
（2）∵|MN|=|f(t)-g(t)|=|sin2t-cos(2t+

π

6

)|
=|

3

2

sin2t-

3

2

cos2t|
=

3

|sin(2t-

π

6

)|
∵t∈[0，

π

2

]，  2t-

π

6

∈[-

π

6

，π-

π

6

]，
∴|MN|的最大值为

3

．

点评：本题主要考查了两角和公式和诱导公式化简求值，三角函数的最值问题等．注重了对数学基础知识的考查和基本的推理能力，计算能力的运用．