Question

已知函数f(x)=

|log2x|，0＜x≤8 - 3 4 x+9，x＞8

，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（　　）

• A、（1，8）
• B、（4，6）
• C、（8，12）
• D、（16，24）

Answer 1

分析：利用分段函数的定义作出函数f（x）的图象，然后可令f（a）=f（b）=f（c）=k则可得a，b，c即为函数y=f（x）与y=k的交点的横坐标根据图象可得出a，b，c的范围同时a，b还满足-log₂^a=log₂^b，即可得答案．

解答：解：∵函数f(x)=

|log2x|，0＜x≤8 - 3 4 x+9，x＞8

∴当0＜x≤8时f（x）=|log₂^x|则f（x）的图象即为y=log₂^x在0＜x≤8的图象且在x轴下方的翻折到x轴上方
  当x＞8时f（x）=-

3

4

x+9图象为一条射线
故f（x）的图象如上图所示．
令f（a）=f（b）=f（c）=k则a，b，c即为函数y=f（x）与y=k的交点的横坐标，不妨设a＜b＜c则a，b，c的位置如上图所示．
∴由图可知0＜a＜1，1＜b＜8，8＜c＜12
又∵f（a）=f（b）
∴-log₂^a=log₂^b
∴ab=1
∴abc=（ab）c=c∈（8，12）
故选C

点评：本题考查了利用分段函数的图象结合数形结合的思想求方程根的积得取值范围．求解本题的关键由三点：（1）会利用图象的变换作图．（2）会将方程的根转化为图象交点的横坐标并且得出0＜a＜1，1＜b＜8，8＜c＜12．（3）能分析出f（a）=f（b）则-log₂^a=log₂^b即ab=1．