Question

 （本小题满分１３分）

已知抛物线的顶点为坐标原点，椭圆的对称轴是坐标轴，抛物线在轴上的焦点恰好是椭圆的焦点

（Ⅰ）若抛物线和椭圆都经过点,求抛物线和椭圆的方程；

（Ⅱ）已知动直线过点，交抛物线于两点，直线：被以为直径的圆截得的弦长为定值，求抛物线的方程；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，分别过的抛物线的两条切线的交点的轨迹为,直线与轨迹交于点,求的最小值。

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

解：（1）设抛物线的方程为：，抛物线经过点则

抛物线的方程为：其焦点为_￥￥

故可设椭圆的焦点为和，

椭圆的方程为：               （3分)

（2）设则的中点，以为直径的圆的半径为

 ，设到直线：的距离为

 则

设直线：被以为直径的圆截得的弦为,则： 

=

由于为定值，所以所以

抛物线的方程为：                      （8分)

（3）设，利用导数法或判别式法可求得的方程分别为

，若则

，故

又因为过点，所以所以

即的轨迹为的方程为，交于点

； 

当且仅当即时取等号；

所以的最小值为。                         （13分）