Question

若直线l：ax+by=1（a＞0，b＞0）过点A（b，a），则以坐标原点O为圆心，OA长为半径的圆的面积取最小值时直线l的方程为

2

x+

2

y=2

．

Answer 1

分析：把点A的坐标代入直线方程求得ab=

1

2

，要使圆的面积取最小，只要r²=OA²=a²+b² 最小．利用基本不等式求得r² 最小时的a、b的值，即可得到圆的面积取最小值时直线l的方程．

解答：解：∵直线l：ax+by=1（a＞0，b＞0）过点A（b，a），∴ab+ba=1，即ab=

1

2

．
由于半径OA=r，要使OA长为半径的圆的面积取最小，只要r²=OA²=a²+b² 最小．
由基本不等式可得 a²+b²≥2ab=1，当且仅当a=b=

2

2

时，取等号，故r²的最小值为1，
故以坐标原点O为圆心，OA长为半径的圆的面积取最小值时直线l的方程为

2

2

x+

2

2

y=1，
即

2

x+

2

y=2，
故答案为

2

x+

2

y=2．

点评：本题主要考查基本不扥等式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．