Question

在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，M和N分别为BC、C₁C的中点，那么异面直线MN与AC所成的角等于　　．

Answer 1

考点：

异面直线及其所成的角．

专题：

计算题；空间角．

分析：

连结A₁B、BC₁、A₁C₁，可得△A₁BC₁是正三角形．利用正方体的性质证出四边形AA₁C₁C是平行四边形，可得AC∥A₁C₁，根据三角开中位线定理证出MN∥BC₁，因此BC₁、A₁C₁所成的角就是异面直线MN与AC所成的角，所以∠A₁C₁B=60°即为异面直线MN与AC所成的角的大小．

解答：

解：连结A₁B、BC₁、A₁C₁，设正方体的棱长为1，则

A₁B=BC₁=A₁C₁=，得△A₁BC₁是正三角形，∠A₁C₁B=60°

∵AA₁∥CC₁，且AA₁=CC₁，

∴四边形AA₁C₁C是平行四边形，可得AC∥A₁C₁

又∵△BCC₁中，MN是中位线，∴MN∥BC₁

因此，直线BC₁、A₁C₁所成的角就是异面直线MN与AC所成的角

∵∠A₁C₁B=60°，∴异面直线MN与AC所成的角为60°

故答案为：60°

点评：

本题给出正方体中的异面直线，求它们所成角的大小，着重考查了正方体的性质、三角形中位线定理和异面直线所成角的求法等知识，属于中档题．