Question

已知抛物线x²=4y，圆C：x²+（y-2）²=4，M（x，y），（x＞0，y＞0）为抛物线上的动点．
（Ⅰ）若y=4，求过点M的圆的切线方程；
（Ⅱ）若y＞4，求过点M的圆的两切线与x轴围成的三角形面积S的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（I）当点M坐标为（4，4）时，设切线：kx-y+4-4k=0，圆心到切线的距离，由此能求出切线方程．（Ⅱ）设切线：y-y=k（x-x），切线与x轴交于点（），圆心到切线的距离，由此能求出两切线与x轴围成的三角形面积S的最小值．
解答：解：（I）∵y=4，∴x=4，
当点M坐标为（4，4）时，设切线：y-4=k（x-4）
即kx-y+4-4k=0
圆心到切线的距离，
，
3k²-4k=0，解得k=0或k=．
∴切线方程为y=4或4x-3y-4=0．
（Ⅱ）设切线：y-y=k（x-x），
即：kx-y+y-kx=0，
切线与x轴交于点（），
圆心到切线的距离，
∴4+y²+k²x²-4y+4kx-2xyk=4k²+4，
化简得：（x²-4）k²+2x（2-y）k+y²-4y=0k²+2x（2-y）k+y²-4y=0，
设两切线斜率分别为k₁，k₂，
则，，

=
=
=2[]
≥
=32．
当且仅当，即y=8时取等号．
故两切线与x轴围成的三角形面积S的最小值为32．
点评：本题考查直线与抛物线的综合运用，具体涉及到抛物线的基本性质及应用，直线与抛物线的位置关系、圆的简单性质等基础知识，轨迹方程的求法和点到直线的距离公式的运用，易错点是均值定理的应用．解题时要认真审题，仔细解答．