Question

点P是△ABC所在平面外一点，A′、B′、C′分别是△PBC、△PCA、△PAB的重心，求证：

(1)平面A′B′C′∥平面ABC；

(2)A′B′＝AB.

Answer 1

思路解析：由三角形重心易联想三角形的中线交点，且交点分中线的比为2∶1，在图中取AB、BC、CA的中点M、N、Q，连结后即可证明.

证明：(1)如图9-3-14所示，取AB、BC、CA的中点M、N、Q，连结PM、PN、PQ、MN、NQ、QM，由A′、B′、C′为△PBC、△PCA、△PAB的重心，

∴A′、B′、C′分别在PN、PQ、PM上，且PC′∶PM＝PA′∶PN＝PB′∶PQ＝2∶3.

在△PMN中，，

∴C′A′∥MN.又∵A′C′平面ABC,MN平面ABC，

∴A′C′∥平面ABC.

同理，A′B′∥平面ABC.∵A′B′∩A′C′=A′，

∴平面A′B′C′∥平面ABC.

(2)由(1)知

方法归纳  利用重心性质可得线段成比例，从而可以得到线线平行.由线线平行可推得线面平行，从而推得面面平行，要理解并掌握三者之间的紧密联系、相互转化.