Question

设f（x）=（1+x）^m+（1+x）ⁿ展开式中x的系数是19，（m、n∈N^*，当f（x）展开式中x²的系数取到最小值时，则f（x）展开式中x³的系数为

 

．

Answer 1

分析：由二项式系数的性质可得，m+n=19，当f（x）展开式中x²的系数

C

2 m

+

C

2 n

取到最小值时，可求得m与n的值，利用二项展开式的通项公式即可求得f（x）展开式中x³的系数．

解答：解：∵f（x）=（1+x）^m+（1+x）ⁿ展开式中x的系数是19，（m、n∈N^*），
∴

C

1 m

+

C

1 n

=m+n=19；①
f（x）展开式中x²的系数为：

C

2 m

+

C

2 n

=

m(m-1)

2

+

n(n-1)

2

=

1

2

（m²+n²）-

1

2

（m+n）
=

1

2

[（m+n）²-2mn]-

1

2

（m+n）
=

1

2

（361-2mn）-

19

2

=171-mn．
∵m+n=19，（m、n∈N^*），
∴19=m+n≥2

mn

，
∴mn≤

361

4

，-mn≥-

361

4

（当且仅当m=n=

19

2

时取“=”）．
∵m、n∈N^*，
∴当m=9，n=10或m=10，n=9时，f（x）展开式中x²的系数取到最小值171-90=81．
∴f（x）展开式中x³的系数为：

C

3 9

+

C

3 10

=84+120=204．
故答案为：204．

点评：本题考查二项式系数的性质，求得m与n的值是关键，考查不等式与方程思想，考查推理分析与运算能力，属于中档题．