Question

已知函数f（x）=2^x，x∈R．
（1）若存在x∈[-1，1]，使得f(x)+

a

f(x)

＞2成立，求实数a的取值范围；
（2）解关于x的不等式f（2x）+（a-1）f（x）＞a；
（3）若f（x₁）+f（x₂）=f（x₁）f（x₂），f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）=f（x₁）f（x₂）f（x₃），求x₃的最大值．

Answer 1

分析：（1）由于存在 x∈[-1，1]，令t=2x∈[

1

2

，2]，可得a＞-t²+2t．再根据函数y=-t²+2t的最小值为0，求得a的范围．
（2）不等式即 2^2x+（a-1）x＞a．令t=2^x∈（0，+∞），不等式即（t-1）（t+a）＞0．结合t的范围，分a=-1、a＜-1、a＞-1三种情况，分别求得x的范围．
（3）令a=2x1，b=2x2，c=2x3，则a+b=ab，a+b+c=abc，利用基本不等式求得ab的范围，可得c的范围，从而求得x₃的最大值．

解答：解：（1）∵存在 x∈[-1，1]，令t=2x∈[

1

2

，2]，即t+

a

t

＞2成立． （1分）
∴a＞-t²+2t．由于函数y=-t²+2t的最小值为0，此时，t=2，（4分）
∴a＞0，即实数a的取值范围为（0，+∞）．（5分）
（2）不等式f（2x）+（a-1）f（x）＞a，即 2^2x+（a-1）x＞a．
令t=2^x∈（0，+∞），不等式即（t-1）（t+a）＞0．（6分）
①当-a=1，即a=-1，可得t＞0且t≠1，∴x≠0．（7分）
②当-a＞1，即a＜-1，可得t＞-a，或0＜t＜1，∴x＞log₂（-a），或x＜0．（8分）
③当-a＜1，即 a＞-1，可得t＜-a，或t＞1．
若-a≤0，即a≥0，由不等式可得t＞1，∴x＞0．（9分）
若0＜-a＜1，即-1＜a＜0，由不等式可得0＜t＜-a，或t＞1，
∴x＜log₂（-a），或x＞0．（10分）
综上，当a=-1时，不等式的解集为{x|x≠0}；
当a＜-1时，不等式的解集为{x|x＞log₂（-a），或x＜0  }；
当 a≥0时，不等式的解集为{x|x＞0}；
当-1＜a＜0时，不等式的解集为{x|x＜log₂（-a），或x＞0}．（11分）
（3）令a=2x1，b=2x2，c=2x3，则a+b=ab，a+b+c=abc，（a，b，c＞0）．
由ab=a+b≥2

ab

⇒ab≥4．（13分）
c=

a+b

ab-1

=

ab

ab-1

=1+

1

ab-1

≤1+

1

3

=

4

3

（15分）
∴2x3≤

4

3

，故x₃的最大值为log2

4

3

．（16分）

点评：本题主要考查一元二次不等式、对数不等式的解法，不等式的性质以及基本不等式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．