Question

已知数列{a_n}满足a1=

1

2

，2an+1-an=1．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）求和S_n=a₁+a₂+…+a_n．

Answer 1

分析：（1）由数列{a_n}满足a1=

1

2

，2an+1-an=1，可得数列{a_n-1}是以-

1

2

为首项，

1

2

为公比的等比数列，从而利用等比数列的通项公式，可求{a_n}的通项公式；
（2）利用等比数列的求和公式，即可求和．

解答：（1）解：∵a1=

1

2

，2an+1-an=1=2-1，2an+1-2=an-1，2(an+1-1)=an-1，（2分）
∴

an+1-1

an-1

=

1

2

，a1-1=

1

2

-1=-

1

2

（5分）
∴数列{a_n-1}是以-

1

2

为首项，

1

2

为公比的等比数列，（6分）
∴an-1=-

1

2

×(

1

2

)n-1，（7分）
∴an=1-(

1

2

)n．                                          （8分）
（2）证明：∵Sn=a1+a2+…+an=n-[

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n]（11分）
=n-

1 2 - 1 2 ×( 1 2 )n

1- 1 2

（13分）
=n-1+(

1

2

)n（14分）

点评：本题以数列递推式为载体，考查等比数列的判定，考查等比数列的通项，考查数列的求和，证明数列{a_n-1}是以-

1

2

为首项，

1

2

为公比的等比数列是关键．