Question

（本小题满分12分）(原创题)

在平面直角坐标系中，已知，若实数使向量。

（1）求点的轨迹方程，并判断点的轨迹是怎样的曲线；

（2）当时，过点且斜率为的直线与此时（1）中的曲线相交的另一点为，能否在直线上找一点，使为正三角形（请说明理由）。

Answer 1

当时，方程为，P的轨迹是圆。

当，即时，方程为，点的轨迹是双曲线。

当，即=±1时，方程为，点的轨迹是射线。,在直线上找不到点满足条件

解析:

解：（1）由已知可得，,,,

∵，∴

即点的轨迹方程

当，且，即时，有，

∵，∴，∴

∴P点的轨迹是点为长轴的焦点在轴上的椭圆。………………………………3分

当时，方程为，P的轨迹是圆。

当，即时，方程为，点的轨迹是双曲线。

当，即=±1时，方程为，点的轨迹是射线。……………………6分

（2）过点且斜率为的直线方程为,

当时，曲线方程为，

由（1）知，其轨迹为以为长轴的焦点在轴上的椭圆。

因直线过

所以，点B不存在。

所以，在直线上找不到点满足条件。           …………………………12分