Question

已知向量

a

=(m，n)，

b

=(1，2)，

c

=(k，t)，且

a

∥

b

，

b

⊥

c

，|

a

+

c

|=

10

，则mt的取值范围是（　　）

A．（-∞，1]

B．（0，1]

C．[-1，1]

D．（-1，1）

Answer 1

分析：利用向量共线的充要条件和垂直的充要条件得到

2m-n=0 k+2t=0

，再结合向量的模的公式得出m²+t²=2，最后利用基本不等式求出mt的取值范围即可．

解答：解：∵

a

∥

b

，

b

⊥

c

，
∴

2m-n=0 k+2t=0

，
∵|

a

+

c

|=

10

，
∴（m+k）²+（n+t）²=10，
从而有：（m-2t）²+（2m+t）²=10，化简得：m²+t²=2，
由基本不等式得：mt≤

m2+t2

2

=1，当且仅当m=t时取等号，
则mt的取值范围是（-∞，1]．
故选A．

点评：本题考查向量垂直的充要条件，考查向量共线的充要条件，考查平面向量数量积的坐标表示等，属于基础题．