题目内容
已知数列{an}满足a1=2，an+1=2(1+| 1 |
| n |
（1）求a2，a3；并数列{an}的通项公式；
（2）设bn=
| an |
| n |
（3）设cn=
| n |
| an |
| 7 |
| 10 |
分析：（1）由题设条件a1=2，an+1=2(1+
)2•an易求得a2，a3；观察发现此递推式可以变形为
=2•
，由此可构造出一个新数列{
}是一个公比为2的等比数列，求得此数列的通项，即可得到数列{an}的通项公式；
（2）由（1）的结论可得bn=
=n•2n，观察此数列的通项公式，知此数列可以用错位相减法求和；
（3）由cn=
，可得cn=
，由于要证c1+c2+c3+…+cn＜
，故可以用放大的方法寻求证明的不等式；
| 1 |
| n |
| an+1 |
| (n+1)2 |
| an |
| n2 |
| an |
| n2 |
（2）由（1）的结论可得bn=
| an |
| n |
（3）由cn=
| n |
| an |
| 1 |
| n•2n |
| 7 |
| 10 |
解答：解：（1）∵a1=2，an+1=2(1+
)2•an(n∈N*）
∴a2=16，a3=72
又
=2•
，n∈N*∴{
}为等比数列
∴
=
•2n-1=2n∴an=n2•2n
（2）bn=
=n•2n
∴Sn=1•21+2•22+3•23+…+（n-1）•2n-1+n•2n
2Sn=1•22+2•23+3•24+…+（n-1）•2n+n•2n+1
∴-Sn=21+22+23+…+2n-n•2n+1=2n+1-2-n•2n+1
∴Sn=（n-1）•2n+1+2
（3）cn=
=
∴c1+c2+c3+…+cn
=
+
+
+
+…+
＜
+
+
+
•[
+
+…+
]
=
+
•
＜
+
•
=
+
=
=
＜
=
所以结论成立
| 1 |
| n |
∴a2=16，a3=72
又
| an+1 |
| (n+1)2 |
| an |
| n2 |
| an |
| n2 |
∴
| an |
| n2 |
| a1 |
| 12 |
（2）bn=
| an |
| n |
∴Sn=1•21+2•22+3•23+…+（n-1）•2n-1+n•2n
2Sn=1•22+2•23+3•24+…+（n-1）•2n+n•2n+1
∴-Sn=21+22+23+…+2n-n•2n+1=2n+1-2-n•2n+1
∴Sn=（n-1）•2n+1+2
（3）cn=
| n |
| an |
| 1 |
| n•2n |
∴c1+c2+c3+…+cn
=
| 1 |
| 1•2 |
| 1 |
| 2•22 |
| 1 |
| 3•23 |
| 1 |
| 4•24 |
| 1 |
| n•2n |
＜
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 8 |
| 1 |
| 24 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 24 |
| 1 |
| 25 |
| 1 |
| 2n |
=
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
| ||||
1-
|
＜
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
| ||
1-
|
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 32 |
=
| 67 |
| 96 |
| 670 |
| 960 |
| 96×7 |
| 96×10 |
| 7 |
| 10 |
所以结论成立
点评：本题考查数列与不等式的综合，考查了数列递推式的应用，错位相减法求和的技巧放缩法证明不等式，解题的关键是熟练掌握错位相减法的技巧，放缩法的技巧，本题中第二问的求解用到了错位相减法，如果一个数列的通项是由一个等比数列的项与一个等差数列的序号相同的项相乘得到，则此数列的和就得用错位相减法，第三问中用到了放大的技巧，要注意不要放得过大，放缩法证明不等式技巧性很强，需要有有较高的观察能力与判断能力，既要放，又不能放得过了头，谨记
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