Question

若0＜x,y,z＜2,求证:x(2-y),y(2-z),z(2-x)不可能都大于1.

Answer 1

思路解析:“不都大于1”即等价于“至少有1个小于或等于1”,由于涉及三个式子,它们出现的情况有很多类,此类问题常用的方法是考虑问题的反面,即“不都”的反面为“都”,可用反证法来处理.

证明:方法一:假设x(2-y)＞1且y(2-z)＞1且z(2-x)＞1均成立.

则三式相乘有xyz(2-x)(2-y)(2-z)＞1.                                           ①

由于0＜x＜2,∴0＜x(2-x)=-x²+2x=-(x-1)²+1≤1.

同理,0＜y(2-y)≤1,且0＜z(2-z)≤1.

∴三式相乘得0＜xyz(2-x)(2-y)(2-z)≤1.                                        ②

②与①矛盾,故假设不成立.

∴x(2-y),y(2-z),z(2-x)不可能都大于1.

方法二:假设x(2-y)＞1且y(2-z)＞1且z(2-x)＞1.

∴.                                 ③

而=3.④

④与③矛盾,故假设不成立.

∴原题设结论成立.