Question

已知函数f（x）=+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y-3=0．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）如果当x＞0，且x≠1时，f（x）＞+，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）求出函数的导数；利用切线方程求出切线的斜率及切点；利用函数在切点处的导数值为曲线切线的斜率及切点也在曲线上，列出方程组，求出a，b值．
（II）将不等式变形，构造新函数，求出新函数的导数，对参数k分类讨论，判断出导函数的符号，得到函数的单调性，求出函数的最值，求出参数k的范围．
解答：解：由题意f（1）=1，即切点坐标是（1，1）
（Ⅰ）
由于直线x+2y-3=0的斜率为，且过点（1，1），故
即解得a=1，b=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以
）．
考虑函数（x＞0），则
．
（i）设k≤0，由知，当x≠1时，h′（x）＜0．而h（1）=0，故
当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，可得；
当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，可得h（x）＞0
从而当x＞0，且x≠1时，f（x）-（+）＞0，即f（x）＞+．
（ii）设0＜k＜1．由于当x∈（1，）时，（k-1）（x²+1）+2x＞0，故h′（x）＞0，而
h（1）=0，故当x∈（1，）时，h（x）＞0，可得h（x）＜0，与题设矛盾．
（iii）设k≥1．此时h′（x）＞0，而h（1）=0，故当x∈（1，+∞）时，h（x）＞0，可得h（x）＜0，与题设矛盾．
综合得，k的取值范围为（-∞，0]
点评：本题考查导数的几何意义：函数在切点处的导数值是切线的斜率、考查构造函数，通过导数研究函数的单调性，求出函数的最值、考查发了讨论的数学思想方法．