Question

已知f（x）=x³-3tx（t∈R）．
（Ⅰ）当t=1时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设g（x）=|f（x）|（x∈[0，1]），求g（x）的最大值F（t）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当t=1时，求函数的导数，利用导数求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）利用导数研究何时能的最大值，主要要进行分类讨论．

解答：解：（Ⅰ）因为f'（x）=3x²-3t，
当t=1时，f（x）有递减区间（-1，1），递增区间 （-∞，-1），（1，+∞）．…（6分）
（Ⅱ）当t≤0时，f（x）在[0，1]上为增函数，所以f（x）≥f（0）=0，
所以F（t）=f（1）=1-3t，…（8分）
当t＞0时，
1）

t

≥1，即t≥1，g（x）=-f（x），f（x）在[0，1]上为减函数，
F（t）=-f（1）=3t-1，…（10分）
2）

t

＜1≤2

t

，即

1

4

≤t＜1，F（t）=-f（

t

）=2t

t

…（12分）
3）2

t

＜1，即0＜t＜

1

4

，F（t）=f（1）=1-3t．…（14分）
综上，F(t)=

1-3t，t＜ 1 4 2t t ， 1 4 ≤t＜1 3t-1，t≥1

．…（15分）

点评：本题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的性质，考查学生的运算能力．