Question

设f（x）是定义在（-∞，+∞）上的函数，对于任意x∈R，f(x+1)=

1-f(x)

1+f(x)

，且当0＜x≤1时，f（x）=x，则f（5.5）=（　　）

• A、1
• B、-1
• C、

  1

  2

• D、

  1

  3

Answer 1

分析：由对于任意x∈R，f(x+1)=

1-f(x)

1+f(x)

，我们推断出f（x+2）与f（x）的关系，根据周期函数的定义，不得得到函数f（x）是以2为周期的周期函数，根据周期函数的性质，不难得到f（5.5）的值．

解答：解：∵对于任意x∈R，f(x+1)=

1-f(x)

1+f(x)

，
∴f(x+2)=

1-f(x+1)

1+f(x+1)

=

1- 1-f(x) 1+f(x)

1+ 1-f(x) 1+f(x)

=

1+f(x)-[1-f(x)]

1+f(x)+1-f(x)

=f（x）
即f（x）是一个周期为2的周期函数
则f（5.5）=f（3.5）=f（1.5）
又∵f（x）=x，∴f（0.5）=0.5
∴f（1.5）=

1-f(0.5)

1+f(0.5)

=

1-0.5

1+0.5

=

1

3

故选D

点评：利用函数的周期性解题要注意：对于任意实数x，①若f（x+T）=f（x），则T为函数的周期；②若f（x+T）=-f（x），则2T为函数的周期；③若（a，y），（b，y）分别为函数的两个对称中心则T=2|（a-b）|④对于任意x∈R，f(x+1)=

1-f(x)

1+f(x)

，则T=2