题目内容

已知非零向量 $数学公式$ 、 $数学公式$ 满足| $数学公式$ + $数学公式$ |=| $数学公式$ - $数学公式$ |= $数学公式$ | $数学公式$ |，则 $数学公式$ + $数学公式$ 与 $数学公式$ - $数学公式$ 的夹角为

A.
30°
B.
60°
C.
120°
D.
150°

B
分析：欲求（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）与（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）的夹角，根据公式cos＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＞= $\text{[math]}$ ，需表示（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）及| $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ |•| $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ |；由于| $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ |•| $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ |易于用| $\text{[math]}$ |表示，所以考虑把（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）也用| $\text{[math]}$ |表示，这需要把已知等式都平方整理即可．
解答：∵| $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ |=| $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ |= $\text{[math]}$ | $\text{[math]}$ |
∴（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）²=（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）²= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ² 整理得 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0， $\text{[math]}$ ²= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ²．
设（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）与（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）的夹角为α，
则（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）=| $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ |•| $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ |cosα= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ²cosα，且（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ²- $\text{[math]}$ ²= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ²．
∴cosα= $\text{[math]}$ ，解得α=60°．
故选B．
点评：向量夹角问题的解决：一般需在公式cos＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＞= $\text{[math]}$ 的基础上，再考虑 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ 的化简．