Question

已知函数f(x)=log

1

2

|x|

x2

．
（1）请写出（不必证明）函数f（x）的定义域，奇偶性，单调性，值域，并画出图象；
（2）设任意的x₁＞0，x₂＞0，试猜测

1

2

[f(x1)+f(x2)]与f(

x1+x2

2

)的大小关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）先作出函数图象，由函数解析式结合函数图象给出函数f（x）的定义域，奇偶性，单调性，值域；
（2）由题意可猜测

1

2

[f(x1)+f(x2)]≤f(

x1+x2

2

)，将此两代数式依据对数的运算性质化简，得到

1

2

[f(x1)+f(x2)]=log2

x1x2

，f(

x1+x2

2

)=log2

x1+x2

2

观察两式发现可用基本不等式比较两个真数的大小，从而证明出猜测的结论．

解答：解：（1）f(x)=log

1

2

|x|

x2

=

log2x，  (x＞0) log2(-x)，(x＜0)

定义域：（-∞，0）∪（0，+∞）；
奇偶性：偶函数；
单调性：函数f(x)=log

1

2

|x|

x2

在区间（-∞，0）上为减函数；
在区间（0，+∞）上为增函数；
值域：（-∞，+∞）；
图象如右：-------------（6分）
（2）对任意的x₁＞0，x₂＞0，

1

2

[f(x1)+f(x2)]=log2

x1x2

，----------------（1分）
f(

x1+x2

2

)=log2

x1+x2

2

．-------------------------（1分）
因为

x1+x2

2

≥

x1x2

，当且仅当x₁=x₂时，等号成立，--------------------（2分）
由函数f（x）=log₂x是单调递增函数，有

1

2

[f(x1)+f(x2)]≤f(

x1+x2

2

)．
当且仅当x₁=x₂时，等号成立．（此结论猜出得2分）------------------------（2分）

点评：本题考查对数函数的图象与性质的综合应用，对数的运算性质，基本不等式比较大小，解题的关键是熟练掌握对数的性质及理解基本不等式，综合运用这些知识对猜测的结论进行证明